الهندسة.

تعريف الهندسة

كلمة هندسة باللغة العربية تحمل معاني متعددة، ومن المتعارف عليه أن أصل كلمة هندسة هى كلمة فارسية تعنى (الإندازة) و تعنى القدرة على حل المشكلات ومنه (المهندز) وهو الذي يقدر مجاري القنيّ والأبنية إلا أنهم صيروا الزاي سيناً فقالوا مهندس لأنه ليس في كلام العرب زاي قبلها دال .

وتعرف الهندسة على أنها فرع من الرياضيات يُعنى بدراسة هيئات وأحجام ومواضع الأشكال الهندسية محاولا ايجاد علاقات رياضية بين عناصرها وهذا ما يسمى بالهندسة الرياضية Geometry . وهذه الأشكال تشمل الأشكال المستوية كالمثلثات والمستطيلات والأشكال المجسَّمة (ثلاثية البعد مثل المكعبات والكرات).

و الهندسة أيضا هي فن الإفادة من المبادئ والأصول العلمية في بناء الأشياء وتنظيمها وتقويمها وهو ما يعرف بالهندسة التطبيقية أو العملية، التي هي مرادفة لكلمة Engineering فهي استخدام معارف رياضية هندسية و فيزيائية لإيجاد حلول و تطبيقات في فروع مختلفة من العلوم و الحياة العملية . ومن فروع الهندسة التطبيقية، هندسة معمارية، هندسة ميكانيكية، هندسة زراعية ...

تاريخ الهندسة.

كيف نشأت الهندسة ؟

نشأت الهندسة عند قدماء المصريين و والعراق و ذلك لحاجتهم إلى مسح الأراضي للتمكّن بإنصاف من توزيع مساحاتها الخصبة المغطّاة بالوحل جراء الفيضانات و كنتيجة لبحث الإنسان عن قواعد عملية تمكنه من قياس الزوايا وحساب حجم بعض الأشكال و مساحاتها التى استخدمت في تشـــيد الأبنـــية و مسح الأراضـــي . ثم  اخذ الاغريقيون الهندسة عن المصريين و البابليين وبنوا منها صرحا فكريا تامّا، حيث وضع أقليدس مبادئ الهندسة حوالي 300 ق.م.،وهي عبارة عن نسيج متشابك من براهين تشتق جميعها من بعض البديهيات الأساسية، حيث نجد والى يومنا هــــذا أن دراســــة الهندسة تعـــتمد على الحروف الابجــدية اليــونانـــية مـــثــل "β Beta "  و  " Δ δ Delta " و " Σ σ ς Sigma"  وغيرها من الرموز التي تستخدم في الرياضيات .

وللعرب دور كبير في تطوير الهندسة حيث قاموا بدراسة التراث اليوناني بداية من القرن التاسع الميلادي , فقاموا بترجمة الأصول ، وأخذوا منها ما أخذوه , وأضافوا إضافات هامة تعتبر أساسا لبعض فروع المعرفة . ففي القرن العاشر أصبح أمامنا عـــلم عربي في الهندسة , وظهر العديد من علماء العرب في هذا المجال كثابت بن قرة الذي لقب باقليدس العرب فقد برع في علم الهندسة حتى قيل عنه إنه أعظم هندسي عربي على الإطلاق، وقال عنه "يورانت ول": إنه أعظم علماء الهندسة المسلمين و البتاني الذي وضع نظريات مهمة في علمي الجبر وحساب المثلثات و سنان آغا المهندس المعماري الشهير الذي ابدع في فن المعمار والهندسة و غيرهم الكثير من العلماء الدين قدموا الكثير الى العلم و البشرية .

مسلمة التوازي.

مسلمة التوازي لعالم الرياضيات اقليدس

بنى عالم الرياضيات اقليدس هندسته على مسلمات بديهية ذكرها في كتابه العناصر و لا يمكن لأي انسان ان يشكك في صحتها. ولكن مع ذلك فان المسلمة الخامسة من مسلمات اقليدس كانت محل جدل بالنسبة للكثير من علماء الرياضيات. وقد اعتبرها الاقدمون انها الشئ الوحيد في هندسة اقليدس الذي يشين هذه الهندسة و يقلل الى حد ما من بهائها وروعتها.

و تذهب الصيغة المعدلة للمسلمة الخامسة إلى أنه من نقطة خارجة عن مستقيم لا يمكن إنشاء أكثر من مستقيم واحد يوازي المستقيم الأول

. ولكن هذه الصياغة ليست هي الصياغة الاصلية للمسلمة، بل أن الصياغة الاصلية تقول تؤكد أنه إذا قطع مستقيمان مستقيماً ثالثاً وكانت زاويتا تقاطع المستقيمين الداخليتين مع المستقيم الثالث حادتين في إحدى جهتيه, فإن المستقيمين المفترضين يتقاطعان في هذه الجهة و في صياغة أخرى تقول انه اذا تقاطع مستقيمان في نقطة ما فان مجموع الزاويتين الداخلتين اللتين يصنعهما هذان المستقيمان مع مستقيم ثالث يقطعهما اقل من قائمتين أو من 180 درجة.

و قد رأى البعض من علماء الرياضيات أن هذه المسلمة تختلف في شكلها وبنائها عن باقى المسلمات الاخرى وان اقليدس قد احتاج للكثير من الكلمات لوصف هذه المسلمة بينما ما كان يميز باقى المسلمات الاخرى هي انها قصيرة وواضحة. وتشكك البعض في ان كانت هذه مسلمة ام هي نظرية ينبغى برهانها بدلالة المسلمات الاخرى.

وحاول العديد من علماء الرياضيات كارشميدس و بطليموس و من بعدهم ثابت بن قرة و الطوسي و الكثيرون من غيرهم برهان المسلمة الخامسة بدلالة المسلمات الاخرى . ولكن كل محاولات هؤلاء قد باءت بالفشل وكان عالم الرياضيات الالمانى جاوس هو اول من ادرك ان هذه الفرضية لا يمكن اثباتها بدلالة المسلمات الاخرى بل ينبغى فرضها فرضا. ومن الممكن فرض فرضيات مخالفة للمسلمة الخامسة لنحصل في كل مرة على هندسة جديدة تتناسب مع المسلمة اللتي تم فرضها.

و قد توصل كل من علماء الرياضيات الروسي لوباتشيفسكي و المجري بولياي لهندسات جديدة بخلاف هندسة اقليدس. وتوصل كل منهما لنفس الهندسة بصورة مستقلة وبمعزل عن الاخر. وقد فرض كل منهما اننا يمكننا رسم اكثر من موازي واحد لمستقيم من خلال نقطة تقع خارج هذا المستقيم.

ثم قام عالم الرياضيات الالماني ريمان بفرض افتراض اخر مفاده اننا لا يمكننا ان نرسم اي موازي لأي مستقيم من نقطة تقع خارجه. ويمكننا تخيل هذه الفرضية بسطح الكرة الارضية. فخطوط الطول الموجودة فوق سطح هذه الكرة تمثل الخطوط المستقيمة لأننا لا يمكننا ان نجد خطوط اكثر استقامة من خطوط الطول الموجودة على سطح الكرة المقعر. كما اننا لا نستطيع من اى نقطة رسم خط طول يوازي خط طول اخر. لان خطوط الطول على سطح الكرة الارضية تتقاطع كلها عند القطبين. اى ان خطوط الطول كلها ليست متوازية.

و قد نشأ جدل تاريخي استغرق قروناً طويلة حول استقلالية مسلمة التوازي عن المسلمات الأخرى.و كان التساؤل المطروح يتعلق بإمكانية استنتاج مسلمة التوازي من المسلمات الأخرى باعتبار مسلمة التوازي بمثابة نظرية.

مصطلحات في الرياضيات.

المستوي ,   plan , Plane

في الهندسة, هو السطح الذي إذا أخذت فيه أي نقطتين كان الخط المستقيم الواصل بينهما منطبقا عليه. ويمكن تعريف السطح المستوي أيضا بالقول إنه ذلك السطح الذي إذا وقعت عليه نقطتان من مستقيم معين فإن جميع نقط هذا المستقيم تقع فيه (أي في السطح المستوي).

المثلث , Triangle

في الهندسة المستوية, شكل مغلق ثلاثي الأضلاع والزوايا. مجموع زواياه الثلاث 180 درجة. وإذا كانت الأضلاع الثلاثة متساوية الطول دعي المثلث "متساوي الأضلاع" و "متساوي الزوايا " أيضا (لأن كل زاوية من زواياه تساوي 60). وإذا كان ضلعان من أضلاع المثلث فقط (أو زاويتان من زواياه فقط) متساويين دعي المثلث "متساوي الساقين". وإذا كانت أضلاع المثلث الثلاثة متفاوتة الطول دعي المثلث "مختلف الأضلاع ". وإذا كانت جميع زواياه حادة (أي كان كل منها أقل من 90) دعي " حاد الزوايا". أما إذا كانت إحدى زواياه منفرجة (أي أكثر من 90) دعي " منفرج الزاوية". ولكن إذا كانت إحدى زوايا المثلث قائمة (أي 90) دعي "قائم الزاوية" . وليس في إمكان المثلث أن يشتمل على أكثر من زاوية منفرجة واحدة أو على أكثر من زاوية قائمة واحدة. ومجموع أي ضلعين من أضلاع المثلث أكبر من الضلع الثالث. وكل ضلع من أضلاع المثلث يمكن أن يعتبر قاعدة المثلث, وعندئذ تصبح الزاوية المقابلة لهذا الضلع رأس المثلث. وطول المثلث أو ارتفاعه هو المسافة العمودية بين الرأس والقاعدة. وتوجد مساحة المثلث بضرب نصف القاعدة بالطول أو بضرب نصف الطول بالقاعدة. أما في الهندسة الكروية فيكون المثلث مرسوما على كرة, وتكون أضلاعه أقواس دوائر كبيرة. ومجموع زوايا المثلث الكروي هو دائما أكثر من 180 وأقل من 540.

متوازي الأضلاع  , Parallélogramme Parallelogram

في الهندسة, شكل رباعي الأضلاع أضلاعه المتقابلة متوازية ومتساوية

المربع  , Square, carrée 

في الهندسة, شكل مستو ذو أضلاع أربعة متساوية, وزوايا أربع قائمة. ومساحة المربع هي حاصل ضرب أي ضلع من أضلاعه في نفسه. فإذا كان طول أحد أضلاع المربع عشرة سنتيمترات كانت مساحته (10 * 10) = 100 سنتيمتر مربع. وفي الحساب, يقصد بالمربع حاصل ضرب أي عدد في نفسه, فمربع 3 مثلا هو (3 * 3) = 9. وفي الجبر, يقصد بالمربع حاصل ضرب أي كمية في نفسها, فمربع " س" مثلا هو (س * س)= س2.

المستقيم المتوسط      ,médiane Median

في الهندسة, هو الخط الممتد من رأس المثلث إلى منتصف قاعدته.

الكرة   : sphere, sphère

في الهندسة, اسم يطلق على السطح الكروي الذي تكون كل نقطة فيه على بعد واحد يسمى الشعاع من نقطة داخلية ثابتة تسمى المركز. وهذه هي الكرة الجوفاء. والكرة قد تكون مجسمة أيضا. وإنما تتألف الكرة المجسمة من سطح كرة جوفاء ومن جميع النقاط الواقعة داخل ذلك السطح.

المخروط , Cone ,Cône

في الهندسة الفراغية. الشكل الناشئ عن خط مستقيم (يدعى "الراسم" أو " راسم السطح" Generator) يمر عبر نقطة محددة (تدعى " الرأس " أو " رأس المخروط " Vertex) ويقطع منحنيا Curve ثابتا يدعى "الدليل" Directrix.

متعدد السطوح  Polyèdre, Polyhedron,

مجسم ذو أربعة سطوح على الأقل. وهو في هذه الحالة يدعى "المجسم الرباعي" أو "رباعي السطوح" في حين يدعى "المجسم الخماسي" أو "خماسي السطوح" إذا كان ذا خمسة سطوح, و "المجسم السداسي" , إذا كان ذا ستة سطوح ...

أوائل في الرياضيات.

• أوّل من حوّل الكسور العاديّة إلى كسور عشريّة في علم الحساب هو غياث الدين جمشيد الكاشي قبل عام 840 هجرية/1436 م .
• يعدّ العالم المسلم السموأل المغربي ، وهو عالم اشتهر باختصاصه في علم الحساب ، أوّل من استعمل الأسس السالبة في الرياضيات ، وتوفي هذا العالم الفذّ في بغداد عام 1175م.
• إن الجذر التربيعي هو أوّل حرف من حروف كلمة جذر، وهو المصطلح الذي أدخله العالم المسلم الرياضي محمد بن موسى الخوارزمي، وأوّل من استعمله للأغراض الحسابية هو العالم أبو الحسن علي بن محمد القلصادي الأندلسي الذي ولد عام 825 هجرية وتوفي سنة 891 هجرية وانتشر هذا الرمز في مختلف لغات العالم .
• أوّل من وضع أسس علم الجبر هو العالم المسلم أبو الحسن محمد بن موسى الخوارزمي ، ولد هذا العبقري الفذّ في بلدة خوارزم بإقليم تركستان في العام 164 هجرية، برع في علم الحساب ووضع فيه كتاباً له أسماه ((الجبر والمقابلة)) شرح فيه قواعد وأسس هذا العلم العام ،تحرف اسمه عند الأوروبيين فأطلقوا عليه (ALGEBRA) أي علم الحساب ، وتوفي –رحمه الله –عام 235 هجرية.
• أوّل رسالة عن علم الرياضيات طبعت في أوروبا كانت مأخوذة من جداول العالم المسلم أبي عبد الله البتاني ،وقد طبعت هذه الرسالة الأولى عام 1493م في اليونان.
• إن الأرقام التي نستعملها اليوم في كتابة الأعداد العربية 1،2،3،4،5،… الخ هي أرقام دخيلة استعملها الهنود من قبل العرب بقرون طويلة ، وأول من أدخل هذه الأرقام إلى العربية هو أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي عالم الرياضيات .

طرح الأعداد الكسرية.

طرح الأعداد الكسرية.

هذا الدرس يتطرق إلى كيفية طرح عددين كسريين في حالة كانا لهما نقس المقام أو إذا كان مقام أحدهما مضاعفا للأخر أو إذا كانا لهما مقامين مختلفين. عن طريق مجموعة من الأمثلة سنتناول كيفية حساب فرق عددين كسريين و نستعرض القواعد التي تنظم طريقة الحساب :

يمكنك أيضا مراجعة درس جمع الأعداد الكسرية . 

تأكد من أنك سوف ستقوم بثلاث خطوات لحساب فرق عددين كسريين:

الخطوة الأولى : تأكد من أن هذين العددين الكسريين لهما نفس المقام.
الخطوة الثانية : لحساب الفرق، إحتفظ بالمقام الموحد لهذين العددين و إطرح بسطيهما.
الخطوة الثالثة : إختزل هذا الفرق إذا كان ذالك ممكنا.

مثال 1 : أحسب

الخطوة الأولى : للعددين نفس المقام الموحد 4
الخطوة الثانية : ، نحتفظ بالمقام الموحد و نطرح البسطين :

الخطوة الثالثة : نختزل هذا الفرق.

مثال 2 : أحسب

الخطوة الأولى : للعددين مقامين مختلفين

نحتاج إذن لتوحيد المقامين :

بالصور :

يمكنك مراجعة توحيد المقامات في هذا الدرس.
ملاحظة : نضرب البسط و المقام في نفس العدد لنحصل على كسرين متساويين ، راجع القواعد في هذا الدرس.
الأن لدينا نفس المقام الموحد ، ننتقل إلى الخطوة الثانية.
الخطوة الثانية : نحتفظ بالمقام الموحد و نطرح البسطين

بالصور :

الخطوة الثالثة : نختزل الفرق

الجمع والطرح.

كيف نجمع و نطرح الأعداد السالبة و الموجبة.

هذا الدرس يتناول كيفية حساب مجموع وفرق عددين صحيحين نسبيين و يستعرض القواعد التي تنظم حساب  الأعداد السالبة و الموجبة.

العدد الصحيح النسبي يمكن أن يكون موجبا أو سالبا :
الأعداد الموجبة هي : 1،0، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، ... وهي في حقيقة الأمر تكتب على الشكل التالي :

... (4+) = 4 ; (3+) = 3 ; (2+) = 2 ; (1+) = 1

الأعداد السالبة هي : 0، 1-، 2-، 3-، 4-، 5-، 6-، 7-، 8-، ...  و نكتبها أيضا على شكل :
                                                    ... (4-) = 4 ; (3-) = 3 ; (2-) = 2 ; (1-) = 1
أنظر إلى الصورة كيف نرتب هذه الأعداد على المستقيم المدرج:

ملاحظتين :
1. نستعمل الأقواس في الأعداد الموجبة و السالبة لتمييز الأعداد عن بعضها.
2.الصفر هو عدد موجب و سالب في نفس الوقت.

كيف نحسب مجموع عددين صحيحين نسبيين ؟
سنستعين بتقنيتين (أو طريقتين) لفهم الأمر :

طريقة 1 : بإستعمال أقراص من لونين مختلفين ( البرتقالي و الأخضر على الصور ) يتوسط أحدهما إشارة ''+'' و الأخر إشارة ''-'' نرمي بي هذه الأقراص حسب الطلب في علبة ، ثم نزيل في كل مرة قرصين من لونين مختلفين ( لا يمكن إزالة قرصين من نفس اللون).  المجموع سيكو ن بعدد و بلون الأقراص المتبقية في العلبة، مثلا إذا كان عدد الأقراص المتبقية هو '' ثلاثة أقرص برتقالية'' فالمجموع سيكون هو 3+ أما إذا كان '' خمسة أقرص خضراء'' فالمجموع هو 5-... لنرى ماذا سيحدث:

أ – مجموع عددين صحيحين نسبيين لهما نفس الإشارة 

لنفرض أننا رمينا ب 8 أقراص برتقالية و 6 أخرى أيضا برتقالية :

في هذه الحالة لا يمكننا إزالة أي قرص بحكم أن جميعها من نفس اللون و بالتالي المحموع هو 14.
نكتب :  14 = 6 + 8 أو 14+ = (6+) + (8+)
 8 أقراص خضراء و 6 خضراء:

 في هذه الحالة أيضا لا يمكننا إزالة أي قرص بحكم أن جميعها من نفس اللون و بالتالي المحموع هو 14-.
نكتب :   14- = (6-) + (8-)
ب – مجموع عددين صحيحين نسبيين مختلفي الإشارة 
 8 أقراص برتقالية و 6 خضراء:

الأقراص المتبقية : ''قرصين برتقاليين'' و بالتالي المجموع هو 2+
نكتب :  2 = 6 + (8-) أو 2+ = (6-) + (8+)

 8 أقراص خضراء و 6 برتقالية:

الأقراص المتبقية : "قرصين خضروين" و بالتالي المجموع هو 2-
نكتب :  2- = 6 + (8-) أو 2+ = (6+) + (8-) .
طريقة المستقيم المدرج :

9 = 3 + 6

9 - =  (3-) - (6-) 

 3 =  (3-) + 6 

3- = 3 + (6-)

ملاحظة : لطرح عدد صحيح نسبي من أخر نضيف إلى العدد الثاني مقابل العدد الأول.

لكن ...كيف ذلك؟

لفهم هذا الأمر، إقترح الوالدان على بنتهما الوحيدة إيمان ما يلي :
" إذا كانت إيمان لطيفة و مطيعة تحصل على 3 نقط (3+)، أما إذا كانت شقية وغير مطيعة تخصم لها 3 نقط (3-) . إذا حصلت على مجموع 30 من النقط تحصل على مكافأة من أبويها"

بدأت إيما ن يومها بشكل جيد و حصلت في الصباح على 9 نقط منحتها إياها الأم . في المساء و بحضور الأب أثناء تناول وجبة العشاء رأت الأم أن إيمان سكبت قليل من الحليب على المائدة و قامت بخصم ثلاثة نقط من التسعة ( أضافت إلى المجموع (3-) ) التى منحتها في الصباح وقامت بالحساب التالي:

6 = 3 - 9 = (3-) + 9    

إعترض الأب بقوة على الأمر وفسر ما قامت به إيمان على أنه تصرف عادي و طلب من الأم خصم (3-) التي أضافتها إلى المجموع.
راجعت الأم الحساب و قامت بكتابة ما يلي :

9 = 3 + 6 = (3-) - 6

و فازت إيمان في اليوم الأول ب 9 نقط

خلاصة : لطرح (3-) من 6 ، نضيف إلى 6 مقابل (3-). و بالتالي الكتابتين (3-) - 6 و  3 + 6 لهما نفس المعنى، أي أن :

                                                            9 = 3 + 6 = (3-) - 6.

و ماذا عن هاتين الكتابتين؟

? (3-) +6 

? (3+) - 6

في الحقيقة : (3+) - 6  =  (3-) +6

أمثلة :

 طريقة ثالثة بالإضافة إلى القواعد التي تنظم حساب مجموع وفرق عددين صحيحين نسبيين على صفحة : جمع وطرح الأعداد الصحيحة النسبية.