الدائرة.

كيفية تحديد مركز الدائرة المفقود.

يحدث أحيانا أن ترسم دائرة و في غفلة من أمرك تنسى أن تحدد مركزها الذي قد تحتاجه في إتمام شكل مطلوب منك إنجازه ، إذن كيف لك إذا كنت تتوفر على بركار و مسطرة أن تعيد إنشاء المركز المفقود لهذه الدائرة ؟. هذا الدرس يجيب على السؤال حيث أنك ستتعلم فيه كيفية إيجاد المركزالمفقود لدائرة مشفوع ببرهان على صحة طريقة الإنشاء.

كيفية تحديد مركز الدائرة المفقود

أنت تعرف أن وتر في الدائرة هو قطعة طرفاها ينتميان إلى الدائرة، إذن سنحتاج إلى رسم و ترين في هذه الدائرة بحيث لا يكون حاملا الوترين متوازيين وبعد ذلك نرسم واسيطيهما و اللذان حتما سيكونان متقاطعين في نقطة واحدة تكون هي مركز الدائرة المفقود. تابع طريقة الإنشاء على الفيديو التالي :


http://www.youtube.com/watch?v=GJQIDmvDS9w

تبرير طريقة إنشاء مركز الدائرة المفقود

لدينا [AB] و[CD] وتران في الدائرة (C) حاملاهما غير متوازيين.
ليكن (d) واسط القطعة [AB] و ('d) واسط القطعة[CD]، ولتكن O نقطه تقاطعهما.

• لدينا O تنتمي الى واسط القطعة [AB] إذن :   (1) OA = OB   
• لدينا O تنتمي الى واسط القطعة [CD] إذن :   (2) OC = OD

من 1 و 2 نستنتج أن : OA = OB = OC = OD
أي أن O تبعد بنفس المسافة عن A و B  و C و D.
و بالتالي O هو مركز الدائرة التي تمر ب A و B  و C و D. أي أن O مركز الدائرة (C).

الأس.

قوى العدد 10 ذات الأس موجب.

تعرفنا في درس سابق على القوى ذات الأس الموجب و تعرفنا على بعض الخاصيات المتعلقة بالقوى ذات اساس عشري نسبي و اس صحيح نسبيي موجب. في هذا الدرس سنتعرف على قوى العدد 10 و خاصياتها وكيف نستفيد منها لتسهيل العمليات الحسابية.

عندما نتحدث عن قوى العدد 10 ذات الأس الموجب فإننا نتحدث عن قوة أساسها العدد 10 و أسها عدد صحيح نسبيي موجب، تأمل ما يلي :

10x10 = 100

10x10x10 = 1000

10x10x10x10x10 = 10000

10x10x10x10x10x10 = 100000

10x10x10x10x10x10x10 = 1000000

10x10x10x10x10x10x10x10 = 10000000

10x10x10x10x10x10x10x10x10 = ...

10x10x10x10x10x10x10x10x10x10 = ...

يمكنك ملاحظة أن :

10² = 10x10 = 100 

10^{3 =} 10x10x10 = 1000

10^{4 =} 10x10x10x10 = 10000

..........

كما يمكنك ملاحظة أن :

بصفة عامة :
إذا كان n عدد صحيح نسبي موجب غير منعدم فإن :

خاصيات :
إذا كان n و m عددان صحيحان نسبيان فإن :

تطبيقات :
بدون إنجاز عملية الضرب أحسب مايلي معطيا النتيجة بدلالة قوى العدد 10 :

A = 200 x 13000  ;;  B = 10000000 x 50000  ;;  C = 5000 x 2000

A = 200 x 13000

= 2 x 100 x 13 x 1000

= 2 x 10² x 13 x 10³

= 2 x 13 x 10² x 10³

= 26 x 10⁵

B = 10000000 x 50000  

= 10⁷  x 5 x 10⁴

= 5 x 10¹¹

C = 5000 x 2000

= 5 x 10³ x 2 x 10³

= 5 x 2 x 10⁶

= 10 x 10⁶

= 10⁷

التوازي والتعامد.

المستقيمان المتوازيان - المستقيمان المتعامدان.

المستقيمان المتعامدان هما مستقيمان متقاطعان يحددان أربع زوايا قائمة، في حين أن المستقيمين المتوازيين هما مستقيمان لا يشتركان في أية نقطة ( منفصلان ومتوازيان) أو يشتركان في نقطتين أو أكثر، وفي هذه الحالة هما منطبقان و متوازيان.

بصفة عامة يكون مستقيمان في المستوى إما : متقاطعين، متوازيين قطعا أو منطبقين. و هذة هي الحالات الثلاث التي يكون عليها مستقيمين في المستوى و تسمى الأوضاع النسبية لمستقيمين في المستوى.

في هذا الدرس إنشاء الله سوف نتعرف على كيفية إنشاء المستقيمين المتوازيين و المستقيمين المتعامدين و سوف نتعرف على قواعد وخاصيات توازي – تعامد مستقيمين في المستوى.

1. المستقيم

تعريف المستقيم هو مجموعة من نقط المستوى, و هو غير محدود

قاعدة 1:  من نقطتين مختلفتين يمر مستقيم وحيـــد

قاعدة 2 : من نقطة واحدة في المستوى تمر عــدة مستقيمات

2. المستقيمان المتوازيان

تعريف : يكون مستقيمان متوازيين قطعا إذا كانا لا يشتركان في أية نقطة.

ملاحظة : مستقيمان غير متوازيين هما مستقيمان متقاطعان

هام جدا : مستقيمان غير متقاطعين على شكل ما، لا يعني أنهما متوازيان.
في هذا الشكل (d1) و  (d2)يبدو أنهما غير متقاطعين :

لكن إذا قمنا بتمديدهما فحتما سيتقاطعان في نقطة M

3. المستقيمان المتعامدان :
يكون مستقيمان متعامدين إذا كانا يحددان زاوية قائمة

خاصيات

خاصية 1 : إذا كان مستقيمان متوازيين فكل مستقيم عمودي على أحدهما يكون عموديا على الأخر.

خاصية 2 : إذا كان مستقيمان متعامدين فكل مستقيم عمودي على أحدهما يكون موازيا للأخر.

 خاصية 3 : إذا كان مستقيمان متوازيين فكل مستقيم مواز لأحدهما يكون موازيا للأخر.

تطبيق 1 : سنتعرف على كيفية إنشاء مستقيم عمودي على اخر و مار من نقطة معلومة.
نستعمل الكوس لإنشاء مستقيم (d’) عمودي على (d) و مار من A

ثم نستعمل المسطرة لتمديد المستقيم (d’)

تطبيق 2 : سنتعرف على كيفية إنشاء مستقيم مواز لاخر و مار من نقطة معلومة.
نستعمل الكوس و المسطرة كما هو مبين أسفله:

بدون تغيير وضع المسطرة نقوم بتحريك الكوس في إتجاه النقطة A.

المثلث المتساوي الساقين.

المثلث المتساوي الساقين: تعريفه خاصياته وقواعده.

المثلث المتساوي الساقين هو حالة خاصة للمثلث حيث أن له ضلعين متقايسين و أيضا زاويتين متقايستين. في هذا الدرس نعطي تعريفا للمثلث المتساوي الساقين  ونتعرف على خاصياته وعلى طريقة إنشاءه:

تعريف المثلث المتساوي الساقين:

مصطلحات :

ABC : مثلث متساوي الساقين رأسه A لأن : AB = AC

A : تسمى رأس المثلث المتساوي الساقين.

[BC] : تسمى قاعدة المثلث المتساوي الساقين.

تعريف :
المثلث المتساوي الساقين هو مثلث له ضلعين متقايسين.

خاصيات المثلث المتساوي الساقين:

خاصية 1 :
إذا كان مثلث متساوي الساقين فإن زاويتي قاعدته متقايستان. 

خاصية 2 :
إذا كانت في مثلث زاويتان متقايستين فإن هذا المثلث متساوي الساقين.

كيف ننشئ المثلث المتساوي الساقين:

طريقة إنشاء مثلث متساوي الساقين يمكنك مشاهدتها على هذا الفيديو .
(http://www.youtube.com/watch?list=UUuTqcTre-eq2YGo2GJ6vFRA&v=suzqcM4hAY8).

المكعب.

المكعب : تعريفه - وصفه - و قوانين حساب حجمه و مساحة أوجهه.

المكعب Cube مجسم يتألف سطحه من ستة مربعات متطابقة تسمى أوجهه وهي منتظمة الشكل, وله إثنا عشر حرف وثمانية رؤوس , فالمكعب كتلة تكون بمجملها زوايا قائمة و تكون أبعاده الثلاثة الطول و العرض و الإرتفاع متساوية.

 

 

2- وصف المكعب

المكعب مجسم يتألف سطحه من 6 مربعات متطابقة تسمى أوجهه . وله 12 حرف و 8 رؤوس وأركانه تشكل زوايا قائمة.

3- تعريف المكعب

المكعب هو حالة خاصة من متوازي المستطيلات حيث أن جميع أوجهه عبارة عن مربعات لها نفس المساحة :

مكعب

     تعريف : المكعب هو متوازي المستطيلات أوجهه منتظمة وعبارة عن مربعات.

4- منشور المكعب

منشور المكعب :

منشور المكعب

5- حجم المكعب - المساحة الجانبية و المساحة الكلية للمكعب :

يقدر حجم المكعب بطول حرفه مضروبا بنفسه ثلاث مرات, أي مكعب أحد أحرفه ( a³ ). وتقدر مساحة أوجهه بستة أضعاف مساحة أي وجه فيه, أي ستة أضعاف مربع أحد أحرفه ( 6a² ) (بفرض أن a هي طول حرف المكعب).

مكعب حرفه a

المساحة الجانبية للمكعب : تساوي مساحة وجه واحد × 4

         S(l) = 4 × a²          

المساحة الكلية للمكعب  : تساوي مساحة وجه واحد × 6

         S(t) = 6 × a²          

حجم المكعب : الحرف × الحرف × الحرف

 V = a × a × a = a³         

الأسطوانة.

الأسطوانة : وصفها - حجمها و مساحتها الجانبية و الكلية

الأسطوانة من المجسمات الإعتيادية , وهي أي مجسم يتشكل سطحه من جميع النقاط التي تبعد مسافة معينة عن قطعة مستقيمة معطاه تسمى محور الاسطوانة. في هذا الدرس نعطي وصفا و تعريفا للأسطوانة و نتعرف على قانون حساب حجمها و مساحتها الجانبية و الكلية.

 

 

 

الأسطوانة : وصف + تعريف 

ينشأ السطح الاسطواني عن حركة مساحة محدودة بمنحنى مقفل في اتجاه عمودي عليها ولا توجد أوجه جانبية بل سطح منحني يعرف بالسطح الاسطواني، وإن كان السطح المتحرك محدود بدائرة كان الجسم المتولد اسطوانة دائرية قائمة وإن كانت الحركة في اتجاه يميل على السطح المتحرك كان الجسم المتولد اسطوانة دائرية مائلة.

ويسمى الحيز المغلق بمستويين متوازيين يتعامدان مع المحور أسطوانة , ويمكن تعريفه كأي مجسم ينتج من دوران مستطيل حول أحد أضلاعه دورة كاملة , ويسمى محور الدوران بـ محور الاسطوانة والضلع المقابل له يسمى بـمولد أو راسم الاسطوانة. الدائرتين التي تحد المجسم من الجهتين تسمى قاعدة أو دليل , القطعة المستقيمة التي تتعامد مع القاعدتين تسمى ارتفاع الاسطوانة , إذا كان ارتفاع الاسطوانة يتعامد مع محيط قاعدتي الاسطوانة سميت اسطوانة قائمة وإلا سميت اسطوانة مائلة.

      يمكن أن نقول الاسطوانة هي منشور قاعدتاه عبارة عن دائرتين
  إذا قيل اسطوانة بدون تحديد فإننا نقصد الاسطوانة الدائرية القائمة.

الجانبية

الاسطوانة : الحجم + المساحة

1- حجم الاسطوانة

حجم الاسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع ( هي حالة خاصة من المنشور)

قانون حجم الاسطوانة

2- المساحة الجانبية للاسطوانة

المساحة الجانبية للاسطوانة = محيط القاعدة × الارتفاع

قانون المساحة الجانبية للاسطوانة

3- المساحة الكلية للاسطوانة

المساحة الكلية للاسطوانة = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين

قانون المساحة الكلية للاسطوانة

متوازي المستطيلات.

متوازي المستطيلات : تعريفه - طريقة رسمه - حجمه و مساحة سطوحه

يطلق اسم متوازي المستطيلات القائم (Parallélépipède rectangle) على الشكل الصلب الذي يحيط به ست مستطيلات من جميع جهاته. و سمي بهذا الاسم لأن له : ستة أوجه مستطيلة الشكل كل وجهين متقابلين متطابقين متوازيان لهما نفس المساحة، و له  12 حرفا و 8 رؤوس و 24 زاوية قائمة ، كما يمكن اعتباره موشور بزاوية قائمة.

 

 

 

2- متوازي المستطيلات : تعريف + وصف

     تعريف : متوازي المستطيلات هو مجسم هندسي له 6 أوجه مستطيلة الشكل

متوازي المستطيلات له :

 6 أوجه مستطيلة                                                                                

 12 حرفا : الحرف هو منطقة التقاء وجهين                                                

 8 رؤوس : الرأس هو منطقة التقاء 3 حروف                                              

 24 زاوية قائمة : كل مستطيل له أربع زوايا قائمة                                         

 3 أبعاد هي أطوال 3 أحرف تشترك في نفس الرأس 

3- كيف نرسم متوازي المستطيلات ؟

المنظور الفارسي هو طريقة من خلالها يمكن تمثيل المجسمات في المستوى ( على ورقة مثلا ).

عند تمثيل متوازي المستطيلات بالمنظور الفارسي نراعي مايلي :                    

 يمثل كل من الوجهين الامامي و الخلفي بمستطيلين متقايسين                      

 تمثل باقي الأوجه بمتوازيات أضلاع                                                   

 تقلص أطوال الأحرف التي لا تشترك في تكوين الوجهين الأمامي و الخلفي    

 ترسم باقي الأحرف المخفية بخطوط متقطعة                      

 يمكن رسم الأحرف التي   لا تشارك في تشكيل الوجهين الأمامي و الخلفي بقطع تكون زاوية قياسها °60 مع  الخطوط الأفقية و طولها يساوي نصف طولها الحقيقي .  

 زوايا قائمة في الحقيقة و غير قائمة في التمثيل

4- متوازي المستطيلات :  الحجم + مساحة السطوح

1- حجم متوازي المستطيلات   

يحسب حجم متوازي المستطيلات بجداء أبعاده الثلاثة أي : ضرب الطول في العرض في الإرتفاع

الارتفاع   ×   العرض    ×    الطول

       V = L x  l x h       

2- مساحة سطوح متوازي المستطيلات                                                                                                                   

 المساحة الكلية متوازي المستطيلات = المساحه الجانبية + مساحة القاعدتين أي : حساب مساحة كل وجه مستطيل ( الطول في العرض)   وجمعها مع بعضها البعض.

     المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع   

‌المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مجموع مساحتي القاعدتين   

مثال :

علبة على شكل متوازى مستطيلات طوله 5سم , عرضه 2سم , ارتفاعه 8سم أوجد :

‌أ) مساحة القاعدة

                                             5 × 2 = 10   S(b) = 10cm²

ب) المساحه الجانبية

                       112 = 14 × 8 = ( 5+2 ) × 2×8     S(l) = 112cm²

جـ) المساحة الكلية = 112+20=132 سم2

                         132 = 112 + 10 × 2        S(t) = 132cm²